Si dice che tra alcuni elementi sussiste una relazione di equivalenza se, scelti alcuni di essi, valgono tre proprietà: quella riflessiva, quella transitiva e quella simmetrica.
La proprietà riflessiva indica che un elemento è sempre uguale a se stesso. La proprietà transitiva indica che se l'elemento 1 è uguale all'elemento 2, e il secondo è uguale ad un terzo, segue necessariamente che il primo elemento è uguale al terzo. L'ultima proprietà, quella simmetrica, indica che se un elemento è uguale ad un altro, l'altro è uguale al primo. In linguaggio matematico si esprimono nel seguente modo:
Riflessiva: X=X
Transitiva: X=Y, Y=Z allora X=Z
Simmetrica: X=Y allora Y=X
Il problema diventa più insidioso quando al segno di uguaglianza si sostituiscono delle proposizioni. Chiariamo tutto questo con un esempio. Una relazione d'equivalenza è l'essere coetanei. Lo si può provare analizzando le tre proprietà:
Riflessiva: Tizio è coetaneo di se stesso;
Transitiva: Se Tizio è coetaneo di Caio, e Caio è coetaneo di Sempronio, allora Tizio è coetaneo di Sempronio;
Simmetrica: Se Tizio è coetaneo di Caio, allora Caio è coetaneo di Tizio.
In questo caso il segno dell'uguale è stato sostituito dalla proposizione essere coetanei, ed è evidente la validità delle tre proprietà.
Ma se si vogliono analizzare altre proposizioni per constatare se sono o meno relazioni d'equivalenza, ci si imbatte in situazioni a volte imbarazzanti. Si pensi al concetto di "amore". E' esso una relazione di equivalenza? (Con buona pace delle femministe, qui non si parla di equivalenza "di diritti". In questo contesto si tratta di un concetto di logica matematica.) Analizziamo le tre proprietà applicate all'amore.
La proprietà riflessiva indica che un elemento ama se stesso. Sempre vero? Ovviamente no. Basta dare un'occhiata ai fatturati dei grandi centri di estetica, per scoprire che moltissima gente vorrebbe tanto soddisfare questa proprietà. Chi invece rispetta fin troppo la proprietà è generalmente definito, nella sua forma degradata, "Narciso".
La proprietà transitiva sosterrebbe che se X ama Y e Y ama Z, allora X ama Z. E' evidente che ciò non avviene praticamente mai. Si pensi al romanzo de "I Promessi Sposi". Non si basa proprio sulla ipotesi appena riportata? Don Rodrigo (X) ama Lucia Mondella (Y), la quale ama Renzo Tramaglino (Z). Forse questo implica che Don Rodrigo ama Renzo? Tutt'altro. Dunque questa proprietà non è praticamente mai valida.
Don Rodrigo, invece, vorrebbe che fosse valida la terza proprietà, quella simmetrica. Secondo questa, infatti, se X ama Y, allora Y ama X. Purtroppo non è sempre così, e le delusioni d'amore nascono proprio dalla falsità di questa implicazione, vera soltanto per le coppie felici. Nel momento in cui non vale più la proprietà simmetrica, è allora che nasce la crisi e la rottura.
Constatato che narcisismo, amore non ricambiato e crisi di coppia non sono altro che invalidità di semplici proprietà matematiche, perché non sostituire ai termini correnti i corrispondenti nomi delle proprietà, scientificamente più accurati e rigorosi?
Perché definire "Narciso" qualcuno, quando gli si potrebbe dire semplicemente che soddisfa la proprietà riflessiva dell'amore?
E perché dire che una coppia è in crisi? Si potrebbe affermare che la coppia sta semplicemente "invalidando la proprietà simmetrica dell'amore".
Più chiaro, più scientifico, più rigoroso.